Analisis Matematico: Analisis III / Teoria

Universidad Central del Este UCE

Programa de la asignatura: MAT-082 Análisis Matemático III

Descripción General:

El análisis matemático III es la rama de la matemática que proporciona los métodos para la investigación cuantitativa de los distintos procesos de cambio, movimiento y dependencia de una magnitud respecto de otra. Esta forma de cálculo nace en un periodo en que el desarrollo de la mecánica y la astronomía.

Este grupo de problema condujo a esta forma de análisis llamada cálculo integral.

Objetivo(s) General(es):

Adquirir las competencias necesarias para aplicar correctamente las integrales en cualquier área o disciplina de la ciencia donde se justifique su uso.

CONTENIDOS

I (4 horas)

Conceptos de integral indefinida.

II (4 horas)

Resolución de integrales indefinidas.

-Regla de la cadena para las integrales.

III (4 horas)

-Teorema fundamental del cálculo.

-Regla de Borrow

-Propiedades de la integral definidas.

-Calculo de integral definida.

IV (4 horas)

Cálculo de áreas acotadas por varias curvas:

-Calculo del volumen de un sólido de revolución.

-Método del disco anillo circular.

-Método de la corteza esférica o capas

V (4 horas)

Cálculo de volumen de un sólido que tiene secciones planas conocidas.

VI (4 horas)

Longitud de un arco

VII (4 horas)

Trabajo hecho por una fuerza variable.

VIII (4 horas)

Momento y centro de masa de un cuerpo irregular.

IX (4 horas)

Presión y la fuerza ejercida por un fluido.

X (4 horas)

Técnicas de integración:

-Integración por parte

-Integración de funciones racionales por fracciones parciales.

XI (4 horas)

Enumeración de las formas indeterminadas

XII (4 horas)

Regla del hospital para hallar limite indeterminado.

Conceptos Teóricos:

1 La Integral

Usted está familiarizado con algunas operaciones inversas. La adición y la sustracción son operaciones inversas, la multiplicación y la división son también operaciones inversas, así como la potenciación y la extracción de raíces. Ahora, conocerá la operación inversa la de derivación o diferenciación denominada antiderivación o antidiferenciación, la cual implica el cálculo de una antiderivada.
Si f y g son dos funciones definidas en el intervalo I tal que :

para todo

“La antiderivación o antidiferenciación es el proceso mediante el cual se determina el

conjunto de todas las antiderivadas de una función dada. El ímbolo

denota la operación

de antiderivación, y se escribe :

donde:

1-1 Integrales Indefinidas.Ejemplos

Reglas Basicas de Integracion.

Ejemplo:

Evalúe:

Ejemplos.

1) Evalúe:

Solución.

2) Calcule

Solución.

Integrales indefinidas de las funciones trigonométricas

seno, coseno, secante al cuadrado, cosecante al cuadrado, secante por tangente y cosecante por cotangente, son deducciones inmediatas de los teoremas correspondientes de diferenciación.

A continuación se presentan tales teoremas.

Ejemplos.

1) Evalúe

Solución.

Identidades Trigonometricas

Las identidades trigonométricas se emplean con frecuencia cuando se calculan integrales indefinidas que involucran funciones trigonométricas

Las identidades trigonométricas fundamentales siguientes son de crucial importancia

1 /sen = csc x 1 /cos = sec x

Ejemplos de aplicacion de las Identidades Trigonometricas

Calcule

Solucion

3) Determine

Solucion

*observacion

[ 2cotgx - 3sen²x] dx = 2(1/senx ) cotgx dx - 3 sen x dx

[ senx sen x ]

3) Determine

Solución.

PRACTICA NO1

Ejercicios.

Calcule las integrales indefinidas

NOTA:
RECUERDE USAR LAS IDENTIDADES.

Regla de Potencia generalizada

Ejemplo:

Evaluacion

PRACTICA NO2

Nota: Recuerde usar la Regla de Potencia Generalizada.

Tabla de integracion

En la tabla que se presenta a continuacion u es una funcion de x o sea u = f(x)

Ejemplos de Aplicación de la tabla de integración

Ejemplo 1

Evalue

Solución: Observando en la tabla

En este caso

por lo tanto

luego se necesita un factor 3 junto a x²dx para obtener du

Entonces, se escribe

Ejemplo 2

Calcule

Solución. : Observando en la tabla

consideremos u = x⁶

tenemos que: du = 6x⁵dx

Ejemplo. (3)

Calcule

Solución. : Observando en la tabla

como: u = 7x + 3 entonces du = 7xdx

por lo tanto

Ejemplo. (4)

Evalúe

Solución. : Observando en la tabla

Siendo u = x² ; du = 2xdx

Luego podemos escribir:

Ejemplo 5

Resuelva

Solución. : Observando en la tabla

siendo: u = 2x ; du/dx = 2 :. du = 2dx

Ejemplo 6

Evalúe

Solución. : Observando en la tabla

Ejemplo 7

Evalúe

Solución. : Observando en la tabla

Como:

entones

de donde obtenemos

PRACTICA No3

Resuelva las integrales indefinidas

NOTA: RECUERDA USAR LAS DENTIDADES.

Integrales Definidas. Ejemplos

Segundo Teorema Fundamental del Cálculo. Ejemplos

Ejemplos

evalué ò₂⁵x²dx

Solución:

ò₂⁵x²dx = [ x³/3]₂⁵ = [ (5)³/3 – (2)³/3 ] = 125 / 3 – 8 / 3

= 125 - 8 = 117 / 3 = 39

evalué ò_-1²( 4 x – 6x² ) dx

Solución:

ò_-1² 4 X dx - ò_-1² 6 X² dx = 4 ò_-1² X dx - 6 ò_-1² X² dx

4 [ x²/2]_-1² 6 [ x³/3]_-1² = 4 [ (2)²/2 – (-1)²/2 ] + 6 [ (2)³/3 – (-1)³/3 ]

= 4 [ 4/2 – 1/2 ] + 6 [ 8/3 – (-1)/3 ] = 4 [ 3/2 ] + 6 [ 9/3 ] = 6 – 18 = - 12

evalué ò₁⁸( x^1/3 – x^4/3 ) dx

Solución:

ò₁⁸( X^1/3 + X^4/3 ) dx =ò₁⁸ X^1/3 dx + ò₁⁸ X^4/3 dx =

= [ x^{1/3 + 1}/ 1/3 + 1]₁⁸ +[ x^{4/3 +1}/ 4/3 + 1]₁⁸ = [ x^4/3/ 4/3]₁⁸ +[ x^7/3/ 7/3 ]₁⁸

= [ 3 x^{4/ 3}]⁸ + [ 3x^{7/ 3}]⁸ = [ 3 (8)^{4/ 3}-3 (1)^{4/ 3} ] + [ 3(8)^7/3-3(1)^{7/ 3}]

[ 4 ]₁ [ 7 ]₁ [ 4 ] [ 7 ]

Nota: el estudiante debe concluir este ejercicio como tarea en su casa.

PRACTICA No4

NOTA. Recuerde usar las tablas de integración

2 APLICACIONES DE LA INTEGRALEn física aprendimos que si un
objeto se mueve una distancia d, a lo largo de una línea, mientras se encuentra sujeto a una
fuerza constante P en la dirección del movimiento entonces el trabajo realizado por la fuerza
es :Trabajo = (Fuerza)'(Distancia). Esto es : W=P·D
Si la fuerza se mide en newtons (fuerza que se requiere para darle a una masa de 1

kilogramo una aceleración de 1 metro por segundo por segundo), entonces el trabajo está

en newton-metros, también llamados joules.Si la fuerza se mide en libras y la distancia en

pies, entonces el trabajo está en libras-pie.

Por ejemplo, una persona que levanta un peso (fuerza) de 3 newtons una distancia de 2

metros, realiza 3·2 = 6 joules de trabajo (véase la figura 1). (Hablando estrictamente, se

necesita una fuerza ligeramente mayor que 3 newtons para una distancia corta a fin de

que el paquete se mantega en

movimiento hacia arriba; y cuando el paquete está cerca de los 2 metros, se necesita una

fuerza un poco menor que 3 newtons para hacer que se detenga en una distancia pequeña.

Incluso en este caso, el trabajo es de 6 newtons, pero es difícil de demostrar).

De forma análoga, un trabajador que empuja un carro con una fuerza constante de 150

libras (para vencer la fricción) una distancia de 20 pies, realiza 150 . 20 = 3000 libras-pie de

trabajo (véase la figura 2).

El trabajo realizado al mover el objeto desde a hasta b es

Aplicación a resortes De acuerdo con la Ley de Hooke en física, la fuerza F(x) necesaria

para mantener un resorte estirado (o comprimido) x unidades alargado (o acortado) de su

longitud natural (véase la figura 4) está dada por

F(x) = kx

Aquí, la constante k, la constante del resorte, es positiva y depende del resorte particular

bajo consideración. Entre más rígido sea el resorte mayor será el valor de k

EJEMPLO 1 I

Si la longitud natural de un resorte es 0.2 metros y si es necesaria una fuerza de 12 newtons

para mantenerlo estirado 0.04 metros, encuentre el trabajo realizado al estirar el resorte de

su longitud natural a una longitud de 0.3 metros.

SOLUCIÓN

Por la Ley de Hooke, la fuerza requerida para mantener el resorte estirado x pulgadas está

dada por F(x) = kx. Para evaluar la constante del resorte, k, para este resorte en particular,

observamos que F(0.04) = 12. Por lo que k·0.04 = 12, o k = 300, de modo que

F(x) = 300x

Cuando el resorte tiene su longitud natural de 0.2 metros, x = O; cuando tiene una longitud

de 0.3 metros, x = 0.1. Por lo tanto, el trabajo hecho al estirar el resorte es

Cuando el resorte tiene su longitud natural de 0.2 metros, x = O; cuando tiene una longitud

de 0.3 metros, x = 0.1. Por lo tanto, el trabajo hecho al estirar el resorte es

Ejemplo

Un resorte tiene una longitud natural de 8 pulgadas. Si una fuerza de 20 libras estira el resorte

1/2 pulgada,determinar el trabajo realizado al estirar el resorte de 8 pulgadas a 11 pulgadas.

Solucion

Consideremos el resorte ubicado a lo largo del eje x, con su extremo fijo en el origen:

Solución
Como F = kx, y x = 11, 5 pulgadas, cuando F = 30 libras, entonces 30 = 11, 5k, por lo que
k = 60/23. El trabajo realizado para estirar el resorte de 10 a 12 pulgadas esta dado por:

W = ò₀³ 60/23 x dx = 60x²] 2

(2)23 ] 0

= 30x²]2

23 ] 0 = 120 / 23 pulgadas-libras

El trabajo realizado para estirar el resorte de 12 a 14 pulgadas esta dado por:

W = ò₂⁴ 60/23 x dx = 60x²]4

(2)23 ]2

= 30x²]4

23 ] 2

= 480/23 - 120 / 23 = 360 / 23 pulgadas-libras

Como F = kx y x = 0; 5 cm cuando F = 1200, entonces k = 2400. Luego F = 2400 .x.

El trabajo necesario para comprimir el resorte desde 6 hasta 4,5 cm esta dado por

Solucion

Consideremos el resorte ubicado a lo largo del eje x, con su extremo fijo en el origen:

Segun la ley de Hooke se sabe que F x

Como x = 0; 5 pulgadas cuando F = 20 libras, entonces 20 = k(0; 5) de donde k = 40.

Luego, F = 40x. Se desea calcular el trabajo realizado por esta fuerza si aumenta la extension de 8 a 11 pulgadas.

Luego:

W = ò₀³ 40x dx = 40x²/2]₀³ =20x²= 180 pulgadas-libra

= 20(3)² -20 (0)²= 180 pulgadas-libras

Ejemplo
Un resorte tiene una longitud natural de 10 pulgadas, y una fuerza de 30 libras lo estira 11,5 pulgadas. Determinar el trabajo realizado al estirar el resorte de 10 pulgadas a 12 pulgadas. Luego encontrar el trabajo realizado al estirar el resorte de 12 pulgadas a 14 pulgadas.

Ejemplo
Una fuerza de 25 kg alarga un resorte 3 cm. Determine el trabajo requerido para alargar el

resorte 2 cm mas.

Solución
Como F = kx y x = 0, 03 m, cuando F = 25 kg, entonces k = 2500/3. El trabajo requerido para
alargar el resorte 2 cm mas (es decir, hasta 5 cm), esta dado por

Ejemplo

Determinar el trabajo efectuado al alargar un resorte 6 cm, sabiendo que se necesita una fuerza de 15 kg para alargarlo 1 cm.

Solución

Según la ley de Hooke

F = kx, por lo que 15 = k ( 0,01) , de donde k = 1500.

Luego, F = 1500x y el trabajo efectuado para alargar el resorte 0,06 m esta dado por:

Ejemplo

Un resorte tiene una longitud natural de 6cm. Si 1200 dinas lo comprimen 0,5 cm, calcular el trabajo efectuado al comprimirlo desde 0,6 cm hasta 4,5 cm.

¿Que trabajo se requiere para hacer que el resorte llegue a 9 cm,

partiendo de su estado comprimido de 4,5 cm?

Como F = kx y x = 0; 5 cm cuando F = 1200, entonces k = 2400. Luego F =
2400 .x. El trabajo necesario para comprimir el resorte desde 6 hasta 4,5 cm
esta dado por

PRACTICA No5

El área de una región plana
Una región por arriba del eje x Supóngase que y = f(x) determina una curva en el plano xy
y supónga se que f es continua y no negativa en el intervalo a :S x :S b (como en la figura
1). Considérese la región R acotada por las gráficas de y = f(x), x = a, x = b y; y = 0.
Nos referiremos a R como la región bajo y = f(x) entre x = a y x = b.
Su área A(R) está dada por

EJEMPLO

Encuentre el área de la región R bajo y = x⁴-2x³ +2 entre x = -1 y x=2.

SOLUCIÓN

La gráfica de R se muestra en la figura 2. Una estimación razonable para el área de R es su

base por una altura promedio, digamos (3)(2) = 6. El valor exacto es

El valor calculado de 5.1 es suficientemente cercano a nuestra estimación, 6, para darnos

confianza de su validez.

Una región debajo del eje x El área es un número no negativo.Si la gráfica de b y = f(x) está

por debajo del eje x, entonces

es un número negativo y, por lo tanto, no puede ser

un área. Sin embargo, sólo es el negativo del área de la región acotada por y = f(x), x = a,

x = b ; y = 0.

EJEMPLO

Encuentre el área de la región R acotada por y = x²/3 - 4, el eje x, x=-2 y x=3.

SOLUCIÓN La región R se muestra en la figura 3. Nuestra estimación preliminar para su área

es (5)(3) = 15. El valor exacto es

SOLUCIÓN La región R se muestra en la figura 3. Nuestra estimación preliminar para su área

es (5)(3) = 15. El valor exacto es

EJEMPLO

Encuentre el área de la región R acotada por y = x³ - 3x² – x + 3 el segmento del eje x

entre x = -1 y , x = 2, y la recta x = 2.

SOLUCIÓN

La región R está sombreada en la figura 4. Observe que una parte de ella está arriba del eje

x y otra está debajo. Las áreas de estas dos partes, R1 y R2, deben calcularse por separado.

Puede verificar que la curva cruza el eje x en -1, 1 Y 3.

Así que : A(R) = A(R1) + A(R2)

Note que podríamos haber escrito esta área como una integral utilizando el

símbolo de valor absoluto.

pero ésta no es una simplificación real, ya que para evaluar esta integral

tendríamos que separarla en dos partes, justo como lo hicimos antes.

^{PRACTICA No 6}

^{pag.280 Purcell 9na ed icion}

En los siguientes problemas Calcule el área de la región

Longitud de una curva plana

294 Capítulo 5 Purcell 9e. Aplicaciones de la integral

DefiniciónUna curva plana es suave si está determinada por un par de ecuaciones

paramétricas x = [(t) , y = g(t), a < t < b, en donde f' y g' existen y son continuas en [a, b], y

f'(t) y g'(t) no son cero de manera simultánea en (a, b).

EJEMPLO:

Dibuje la curva determinada por medio de las ecuaciones paramétricas x= t - sen t,

y =1- cost, 0< t < 4π. Indique la orientación. ¿La curva es suave?

SOLUCIÓN

La tabla que muestra los valores de x y y para varios valores de t, desde 0 hasta 4π, guía a la

gráfica de la figura 6. Esta curva no es suave aunque x y y son funciones diferenciables de t.

El problema es que dx/dt = 1 - cos t y dy/dt = sen t son 0 de forma simultánea cuando t = 2π.

El objeto baja lentamente hasta detenerse en el instante t = 2π luego empieza a subir en una

nueva dirección.

La curva descrita en el ejemplo se denomina cicloide. Describe la trayectoria de un punto fijo
en el borde de una rueda de radio 1, cuando la rueda se hace rodar a lolargo del eje x.

Longitud de arco

Por último, estamos preparados para la pregunta principal.

¿Qué significa la longitud de la curva suave dada de forma paramétrica por x = f(t), y = g(t),

a < t < b?

Si la curva está dada por y = f(x), a< x < b, tratamos a x como el parámetro y el resultado

toma la forma

De manera análoga, si la curva está dada por x = g(y), c < y < d, consideramos a y como el

parámetro, obteniendo

Estas fórmulas dan los resultados conocidos para círculos y segmentos de recta, como lo
ilustran los siguientes ejemplos.

EJEMPLO

Encuentre el perímetro de la circunferencia x² + y² = a²
Escribimos la ecuación de la circunferencia en forma paramétrica: x = acos t, y = a sen t,
0< t < 2 π . Entonces dx/dt = -a sen t, dy/dt = a cos t, y por la primera de nuestras fórmulas,

L = ò₀²^π√ (-a sen t )²+ (a cos t)²dt =ò₀²^π√a² sen² t + a² cos² tdt

ò₀²^π√a² (sen² t + cos² t) dt =ò₀²^π√a² (1)dt = [at]₀²^π= [a(2II) – a(0)]= 2πa

EJEMPLOEncuentre la longitud del segmento de recta de A(O, 1) a B(5, 13).

SOLUCIÓN

El segmento de recta dado se muestra en la figura S. Observe que la ecuación de la recta correspondiente es y = 12/5 x + 1, de modo que dy/dx = 12/5 y así, por la segunda de las tres fórmulas para la longitud,